Análise Combinatória

Estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado evento.

Ex.:

Numa corrida com 4 carros, as possibilidades de chegada para os 3 primeiros lugares são 24.

Pode ser feito a árvore das possibilidades

Ou da seguinte forma:

Possib. 1ª lugar: 4

Possib. 2º lugar: 3

Possib. 3º lugar: 2

4 . 3 . 2 = 24

ANAGRAMA

Agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

Permutações com elementos repetidos

Dado um conjunto de n elementos, com a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número de permutações será:  

 Ex.: O número de anagramas da palavra MATEMATICA

151.200 anagramas 

ARRANJO SIMPLES

É o agrupamento em   que um grupo é diferente do outro pela ordem (13, 31) ou natureza dos elementos componentes (24, 34).

Obs.:A ordem altera o conjunto

Representando o número de arranjos de n elementos tomados p a p  ( n ³ p ) ,  teremos a seguinte fórmula:

COMBINAÇÃO SIMPLES

Um grupo é diferente do outro apenas pela natureza. A ordem não importa.

Equação do 2° grau

Uma equação do 2° grau com uma variável tem a forma: ax² + bx + c (a ≠ 0)

Sendo x a incógnita, a, b e c números reais, chamados coeficientes.

a é coeficiente de x²; b coeficiente de x; c termo independente.

Equação completa: quando b ≠ 0 e c ≠ 0.

Equação incompleta: quando b = 0 ou c = 0 ou ambos são nulos.

Resoluções de equações incompletas

1° caso: b = 0                                    2° caso: c = 0

4y² – 100 = 0                                      3x² – x = 0
4y² = 100                                            x(3x – 1) = 0
y² = 100 : 4                                         x = 0   e
y² = 25                                                3x – 1 = 0
y = ±√25                                             x = 1/3
y’ = 5   y” = – 5

Para equações completas:

Equação biquadrada

Chama-se equação biquadrada toda equação que pode ser colocada na forma:

ax⁴ + bx² + c = 0

Obs.: A equação é de 4° grau

Os expoentes da variável são números pares.

Proposições

Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas.

p: Pedro é médico.

q: 5 < 8

Sentenças abertas

Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição.

x + 5 = 10

“Ele ganhou o Oscar de melhor ator em 2001”. (Quem é ele?)

Proposições simples; proposições compostas

Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições.

Ex.: Todo homem é mortal.

Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:

- João é médico e Pedro é dentista.

- Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.

Valores lógicos das proposições

Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p) = V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q) = F.

Casos típicos de fatoração

Fatorar significa transformar uma adição de duas ou mais parcelas em uma multiplicação de dois ou mais fatores, de modo que o resultado da adição seja o mesmo que o resultado da multiplicação.

1. Fator comum

Quando os termos apresentam fatores comuns

ax + ay = a.(x+y)

2. Agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

                            ax + ay + bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

                            a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:      (x+y).(a+b)

3. Diferença de quadrados

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

x² - 9 = (x + 3) (x – 3)

4. Quadrado perfeito

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios ( a² + 2ab + b²) e ( a² - 2ab + b²) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

                

 (a + b)² = a² + 2ab + b²         (a - b)² = a² - 2ab + b²

 
   

5. Cubo perfeito

x³ ± 3x²y + 3xy² ± y³ = (x ± y)³

6. Adição de cubos

x³ ± y³ = (x ± y) . (x² ± xy + y²)

7. Trinômio do 2° grau

ax² + bx + c = a (x – r₁)(x – r₂) onde r₁ e r₂ são raízes do trinômio.



Problemas matemáticos

Veja como resolver alguns problemas matemáticos

1. Problemas com velocidade

Sendo d a distância percorrida a uma velocidade v constante num tempo t, tem-se:

d = v . t

2. Problemas de vazão constante

Sendo V o volume de um líquido acumulado em conseqüência de uma vazão constante num tempo x, tem-se:

V = v/t

Lembre-se:

Se um corpo “ajuda” o outro teremos velocidade relativa igual a soma das duas velocidades.

V_R = V_A + V_B

Se um corpo “atrapalha” o outro teremos:

V_R = V_A – V_B

3. Problemas do 1° grau

Nesse caso iremos trabalhar com duas variáveis conseqüentemente teremos que montar duas equações.

Ex.: Um fazendeiro cria porcos e pássaros num total de 50 animais e 180 pés. Quantos porcos e pássaros ele possui?

Porcos = x                              pássaros = y

1 porco = 4 pés                       1 pássaro = 2 pés

Total de pés = 4x                   total de pés = 2y

x + y = 50

4x + 2y = 180

                   

x = 40 porcos              y = 10 pássaros

4. Problemas envolvendo idades

Observar sempre o presente e o passado de cada idade, ao ler-se.

A variação de idade do presente e do passado é sempre igual para cada idade das pessoas analisadas.

Ex.: Pedro tem hoje o dobro da idade de João, há cinco anos ele tinha o triplo. Qual é a idade de Pedro hoje?

hoje = x                      hoje = y

há 5 anos: x – 5          há 5 anos: y – 5

x = 2y

x – 5 = 3(y – 5)                      resolvendo temos x = 20

Critérios de Divisibilidade

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

a) Por 2: Um número natural é divisível por 2 quando ele é par.

b) Por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Ex: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 

c) Por 4: Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Ex: 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.

d) Por 5: Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

e) Por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

f) Por 7: Multiplica-se o algarismo da unidade por 2 e subtrai do número que sobrou. Se o resultado for um número divisível por 7 ele também será:
Ex: 119 (11 – 18 = -7) como -7 é divisível por 7, logo 119 também será.

g) Por 8: Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Ex: 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.

h) Por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

i) Por 10: Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

j) Por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Ex: 87549
    Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
    Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
    Si-Sp = 22-11 = 11
    Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

l) Por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

m) Por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.